Строгий анализ закона распределения напряжений в упругом полупространстве по Буссинеску » Ремонт Строительство Интерьер

Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Строгий анализ закона распределения напряжений в упругом полупространстве по Буссинеску

07.07.2021

Упрощенное рассмотрение проблемы распределения напряжений в грунтовой толще, которое было проведено в предыдущем параграфе, исключает учет влияния на распределение напряжений боковых деформаций и деформаций сдвига в грунте под воздействием нагрузки, а также свойств самого грунта, которые оказывают влияние на величину этих деформаций. Строгий анализ проблемы был впервые проведен французским математиком Буссинеском применительно к сосредоточенной нагрузке, приложенной на поверхности так называемого упругого полупространства, т. е. массы упругого материала, ограниченной с поверхности горизонтальной плоскостью и простирающейся бесконечно во все стороны ниже этой поверхности. Грунт ниже горизонтальной поверхности может рассматриваться в качестве полупространства, если мощность его по отношению к размерам нагруженной площадки на поверхности значительна.

Решение Буссинеска на английском языке было опубликовано Тимошенко. Для напряжений, которые возникают под действием сосредоточенной нагрузки Р, приложенной на поверхности в точке, находящейся в пределах упругой грунтовой массы на глубине z и на расстоянии по горизонтали r от вертикальной линии действия нагрузки Р, были получены следующие выражения (обозначения приведены на рис. 9.4):

- вертикальное напряжение

- касательное напряжение

- горизонтальное радиальное напряжение

Выражение для горизонтального тангенциального напряжения σθ приводится в указанной работе Тимошенко.

Рассмотрение рис. 9.4 и уравнений (9.3)—(9.5) позволяет сделать следующие выводы. Величины всех напряжений в рассматриваемом случае не зависят от величины модуля Юнга E материала. Вертикальное напряжение σz и касательное напряжение тrz, кроме того, не зависят от величины коэффициента Пуассона v. Линии, проведенные через точки, характеризующиеся равными величинами вертикального напряжения σz, имеют приближенно форму круга; это справедливо и для линий равных касательных напряжений тrz. Горизонтальное радиальное напряжение σr, т. е. радиальное боковое давление, зависит, однако, от величины коэффициента Пуассона v.
Строгий анализ закона распределения напряжений в упругом полупространстве по Буссинеску

Косвенное доказательство справедливости решения Буссинеска для упругих материалов может быть получено при проведении лабораторных экспериментов, основанных на явлении фотоупругости. Такого рода исследования базируются на том факте, что кристаллы упругой среды до некоторой степени переориентируются под действием касательных напряжений равной интенсивности так, что если через подвергнутые напряженному состоянию бакелит, желатин или другой подобный материал пропускать поляризованный свет, то точки с равными касательными напряжениями будут образовывать линии одинакового цвета. В условиях загрузки, соответствующих рис. 9.4, линии равных касательных напряжений по данным опыта, основанного на эффекте фотоупругости, имеют приблизительно форму круга, совпадающую с получаемой по Буссинеску.

Конечно, многие грунты являются пластичными, а не упругими материалами. Теория пластичности пока еще не достигла уровня, позволяющего строго математически рассматривать такие проблемы. Тем не менее наблюдения за поведением грунтов под нагрузкой показывают, что решения Буссинеска могут применяться с достаточной степенью точности по отношению к связным грунтам и даже с некоторыми ограничениями к сыпучим грунтам, подобным пескам. Это положение будет рассмотрено далее.

Рис. 9.5 иллюстрирует картину напряженного состояния, возникающего в толще грунта под нагрузкой, распределенной на поверхности по площадке, имеющей форму круга. В данном случае принимается, что грунт ведет себя подобно упругому полупространству. Для построения этого графика используются выражения, приведенные в работе проф. Тимошенко. Графическая интерпретация (см. рис. 9.2) дана Конвертом. Из рассмотрения элементарного кубика, изображенного с правой стороны схемы, следует, что максимальное касательное напряжение в этой точке тmax действует в плоскости, наклоненной под углом 45° к главному направлению, отвечающему главному сжимающему напряжению σ1 (см. уравнения (7.7) и (7.8)].

Геометрическому месту точек, отвечающих в толще грунта наибольшим значениям тmax (максимальных касательных напряжений), в плоскости чертежа соответствует некоторая эллиптическая кривая. Согласно Тимошенко, эта кривая пересекает вертикальную ось, проходящую через центр нагруженной площадки на глубине z=0,638 (D/2). Это положение справедливо для коэффициента Пуассона v=0,3. Величина наибольшего максимального касательного напряжения будет тогда

где р=Р/А — средняя удельная нагрузка на единицу площади загруженного участка. Следует отметить, что касательные напряжения по вертикальным площадкам тrz от действия сосредоточенной силы на поверхности толщи не зависят от величины коэффициента Пуассона. Вместе с тем величина наибольшего максимального касательного напряжения тmax под загруженной площадкой уже зависит от последнего, хотя и в незначительной степени. Можно показать, подставляя предельное значение v=0,5 в уравнения (h) и (К) в указанной работе Тимошенко (стр. 337), что

и z'=0,692 (D/2). Следовательно, возможное изменение величины х'max из-за неопределенности в значениях коэффициента Пуассона для грунтов несущественно и не превышает 15%. Вместе с тем действительная величина т'max в рассматриваемых задачах имеет важное практическое значение.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: