Внешнее давление и внутренние напряжения при испытании образца грунта на сдвиг в условиях трехосного напряженного состояния

Рассмотрим условия равновесия небольшой призмы грунта шириной db, показанной на рис. 7.11,б, в и г. Сначала определим наклон плоскости, вдоль которой будет наименьшее сопротивление сдвигу, т. е. критическую величину угла отклонения 0сr.

Усилие, направленное нормально к наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 0, равно:

выражая это равенство через напряжения:

Аналогично усилие, касательное к плоскости, образующей угол 0 с горизонтом, будет равно:

Степень устойчивости на сдвиг на любой площадке идеального связного грунта, не обладающего внутренним трением, не будет зависеть от величины нормального к ней напряжения o и будет, следовательно, определяться только интенсивностью действующего по ней касательного напряжения т. Из выражения (7.7) следует, что т будет достигать максимального значения, когда sin 20 равен своему возможному максимальному значению — единице, т. е. когда угол 0 равен 45°:

Если сопротивление грунта сдвигу s зависит как от трения, так и от сцепления, то прочность грунта в результате сдвига будет нарушаться при соблюдении зависимости Кулона (7.1), т. е. когда

Подставив значения o и т из уравнений (7.6) и (7.7) в уравнение (7.8а), получим:

Решая последнее уравнение относительно o1, будем иметь:

Площадка с наименьшим сопротивлением сдвигу будет соответствовать минимальному значению o1, вызывающему нарушение прочности образца, в соответствии с выражением (7.9). Напряжение o1 будет иметь минимальное значение, когда знаменатель второго члена приведенного выше выражения достигнет максимума, т. е. когда

Дифференцируя, получим для критического состояния

Подставив это значение в знаменатель выражения (7.9) и учитывая, что

После соответствующей подстановки в выражение (7.9) будем иметь: