Слоистая, анизотропная, трещиноватая толща

Гидродинамическая дисперсия в слоистой толще рассмотрена У. Шамиром и Д. Харлеманом применительно к двум схемам фильтрации.

При фильтрации и продольной дисперсии в направлении, перпендикулярном к слоистости, в любом из i слоев процесс характеризуется уравнением (44)

где Vi, DLi — скорость движения воды и коэффициент продольной дисперсии для i-го слоя. Для 1-го слоя начальное и граничное условия на входе приняты в виде

В конце слоя (x1 = l1) вместо более строгого условия равенства солевого потока на границе 1-го и 2-го слоев с целью упрощения решения ставится условие

т. е. слой считается полуограниченным. В этом случае решение для 1-го слоя получаем в виде, аналогичном (24):

Граничными условиями для 2-го слоя при x2 = 0 и x2 = l2 должны быть расходы вещества, входящего в слой и выходящего из него. Вместо этого на выходе ставится также упрощенное условие

где C1(l1, t) берется из решения (47). Точное решение уравнения (44) при i = 2, т. е. для 0 меньше x2 меньше l2 с учетом выражений (47)—(50) получено в виде

Формула (51) для C2 так же, как и формулы для концентраций последующего любого слоя i, требуют численного интегрирования. Выполненные авторами соответствующие вычисления показали, что порядок следования слоев не влияет на результат вычисления Ci, а при повторении слоев с одинаковыми параметрами их можно объединить в один слой эквивалентной длины.

Фильтрация в направлении вдоль слоистости (рис. 8) рассматривается при следующих предпосылках: 1) на входе (при х = 0) концентрация вдоль оси у резко изменяется от 0 до C0; 2) с удалением от входа, вследствие поперечной дисперсии, изменение концентраций в направлении, перпендикулярном к слоистости и течению, происходит более плавно и в некотором сечении x1 устанавливается стационарное распределение концентрации. Для этих условий уравнение для любого i-го слоя, простирающегося от у = bi-1 до у = bi, имеет вид

Поскольку вторая производная от концентрации по оси х меньше, чем по оси у, уравнение для i-го слоя примет вид

Используя известную связь DLl = aV, для 1-го и 2-го слоев (см. рис. 8) можно записать:

Граничные условия:

а) на входе

б) на удаленных границах слоев

в) на границе между слоями (для всех х)

Решение системы уравнений (54)—(55) при условиях (56)—(61) получено в следующем виде:

При b1 = 0 решения (62) и (63) получены Г. Карслоу и И. Егером в 1959 г.

Экспериментальная проверка полученных решений проведена на вертикальной колонке, загруженной несколькими слоями песков различного состава (d50 от 0,8 до 3,5 мм), и в горизонтальном грунтовом лотке, в который помещались два слоя песка. В качестве меченой жидкости использован раствор NaCl (0,2%); концентрации раствора в песках определены путем измерения электрического сопротивления датчиками, расположенными на стенках колонки и лотка. Экспериментальные значения C1 и С2 оказались несколько ниже теоретических из-за влияния тупиковых пор, не учитываемого уравнениями (44) и (52).

Гидродинамическая дисперсия в пористой среде с поперечной анизотропией, обусловленной чередованием двух слоев различной проницаемости, рассмотрена в работах М. Моранвиля и Д. Кесслера.

Экспериментальные исследования дисперсии в среде с поперечной анизотропией проведены на моделях, состоящих из чередующихся слоев стеклянных частиц диаметром 60 мкм и 590— 840 мкм; проницаемость слоев составляла соответственно 0,16*10в-6 см2 и 3,15*10в-6 см2, толщина слоев 1,3 см. В опытах варьировались угол р между направлением фильтрации и осью симметрии а, а также фильтрационный расход. В качестве метки использован раствор KCl, для измерения концентрации метки применены электроды. При изменении угла от 90 до 0° проницаемость модели варьировала от 1,52*10в-6 до 0,54*10в-6 см2. Экспериментально установленная зависимость коэффициента дисперсии по направлению фильтрации DN от скорости движения воды в этом же направлении VN имеет вид

Параметр а линейно связан с cos2 в.

Математическая модель для исследования гидродинамической дисперсии загрязнений в трещиноватых породах представлена Р. Крижеком, Э. Кастилло, Г. Каради. При этом рассмотрена идеализированная схема напорного горизонтального водоносного пласта, сложенного скальными породами с двумя системами вертикальных трещин (рис. 9). Трещины имеют одинаковое раскрытие и ориентированы под определенными углами к направлению потока подземных вод. Блоки породы не взаимодействуют с загрязняющим веществом, поступающим в пласт через нагнетательную скважину. Стационарный поток движется по трещинам и узлам, находящимся на пересечении трети и. Для получения концентрационного распределения загрязнений в пласте рассматривают отдельно дисперсию в единичной трещине, происходящую из-за различия скоростей по поперечному сечению трещины, и дисперсию в узле трещин, происходящую в результате смешения воды, поступающей из трещин, образующих узел. Считается, что смешение в каждом узле может быть различным, при этом возможны два крайних случая: а) полное смешение, когда из узла во все трещины выходит вода с одинаковой концентрацией; б) отсутствие смешения. Промежуточные случаи рассматриваются как линейные комбинации этих двух крайних случаев; варьируется также число трещин, питающих данный узел.

Для характеристики дисперсии в массиве объединяют результаты исследования дисперсии в трещине и в узле. Учитывается, что от одного узла к другому загрязнения могут идти различными путями (см. рис. 9). Зная концентрацию вещества в начале трещины и распределение скоростей в ней, можно определить С(х, t) в конце трещины, т. е. на входе в узел. Затем в зависимости от числа входящих в узел трещин можно для различных видов смешения определить концентрацию загрязнений в воде, выходящей из узла. Эта концентрация является граничным условием в начале следующей трещины и т. д.

По описанной схеме с помощью ЭЦВМ были проведены вычисления для случая закачки через скважину меченой жидкости в пласт с естественным потоком подземных вод и без него. Для правильной сетки трещин и заданных параметров естественного потока, расхода скважины, ориентации и раскрытия трещин и т. п. были получены гидродинамические сетки фильтрации и изолинии концентраций загрязнений на различное безразмерное время T = — t/t0, где t — действительное время, отсчитываемое от начала закачки загрязнений в скважину; t0 — некоторое характерное время, например, время поступления загрязнений к выбранной точке M (см. рис. 9).

В рамках выполненных экспериментов удалось установить, что:

1) режим фильтрации в напорном трещиноватом водоносном пласте (ламинарный, турбулентный) и степень смешения в узлах мало влияют на характер дисперсии загрязнений;

2) главными факторами, определяющими интенсивность дисперсии, являются ориентация трещин, скорость естественного потока и расход закачки в скважину.