Массоперенос при переменной скорости фильтрации

Во многих практических приложениях теории массопереноса, а также при полевых опытно-фильтрационных исследованиях, когда реализуется радиальный поток, возникает необходимость рассмотрения массопереноса в условиях переменной скорости фильтрации, изменяющейся в направлении движения жидкости. Поскольку коэффициент конвективной

дисперсии является функцией скорости течения, в уравнении массопереноса при производных появляются переменные коэффициенты, что затрудняет получение точных аналитических решений. В связи с этим для отдельных видов фильтрационных течений применяют различные упрощающие задачу аппроксимации, а для сложных практических задач используют численные методы. Обычно зависимость D(V) принимается в виде

тогда уравнение гидродинамической дисперсии в осесимметричном радиальном потоке приобретает вид

где A = Q/2пmn0 (Q — расход скважины или другого источника, создающий радиальный поток).

Уравнение (37) одним из первых исследовал А. Огата в 1958 г. Для случая Dм = 0 им получено решение в интегральном виде; численное интегрирование решения не было проведено. П. Раймонди, Дж. Гарднер, К. Петрик при решении этой же задачи сделали упрощающее предположение о том, что на некотором расстоянии r от скважины влияние дисперсии и диффузии на распределение концентрации возле этой точки мало по сравнению с общей дисперсией и диффузией, которая уже произошла при движении жидкости к этой точке. Тогда, пренебрегая левой частью уравнения (37), получим

Выражение (38) вводится в дисперсионный и диффузионный члены уравнения (37); при этом пространственные производные переходят в производные по времени:

Для непрерывного нагнетания при условиях Q = const, Cвх = C0 на скважине (r = 0) решение уравнения (39) имеет вид:

Выражение (40) получено интегрированием по времени выражения (43), представляющего решение уравнения (39) для условий мгновенного нагнетания в скважину массы вещества M при r = 0 и t = 0:

где а = r2/2А, b = (ar3/3A2) + (Dмr4/4A3), р — плотность вводимого раствора вещества. Выражение (40), удовлетворяющее граничным условиям, не удовлетворяет начальным условиям, так как было принято, что dC/dt = 0 при t = 0. Однако это предположение выполняется уже при удалении от скважины на расстояние, превышающее 10—20 диаметров частиц пористой среды. Для случая Dm = 0 выражение (40) приводится к безразмерному виду:

где р = r/а, т = At/а2.

Дж. Xync и Д. Харлеман осуществили численное решение уравнения (39). Сопоставив результаты с приближенным решением (40), они пришли к выводу, что хорошее совпадение с точностью до 1% отмечается при т больше 1000. Уравнение гидродинамической дисперсии в потоке с переменной по пути движения скоростью, имеющее в более общем случае вид:

где S — длина дуги вдоль криволинейной линии тока, рассмотрено Л. Гелхаром и М. Коллинзом. Ими получено приближенное аналитическое решение, основанное на преобразовании пространственно-временной координатной системы и использовании так называемого метода граничного слоя, или метода малых возмущений, при котором решение уравнения (43) получается в виде суммы двух решений — «внешнего» и «внутреннего». Первое из них характеризует чисто конвективный перенос метки в потоке, а второе — дисперсию метки в пограничной области между меченой и немеченой жидкостью, т. е. вблизи конвективного фронта фильтрации. В результате уравнение (43) переходит в простое уравнение теплопроводности.

При этом обязательным условием возможности такого перехода является некоторая удаленность рассматриваемых точек области фильтрации от источника поступления вещества в пласт: Va/L<1, где L — расстояние от источника.

Проверка полученного для радиального потока приближенного решения выполнена путем сопоставления с численным решением уравнения (43) с применением конечно-разностной неявном схемы; хорошее совпадение получено для точек фронта фильтрации, удаленных от источника на расстояние более (15-100)а.

Дисперсия инертной метки в условиях переменной скорости фильтрации рассматривалась также Дж. Даганом. Приближенное аналитическое решение задачи дисперсии при нагнетании раствора в скважину получено на основе применения метода малых возмущений при малых значениях параметра е = а/L. Для получения «внешнего» решения рассматривалось уравнение конвективного переноса без дисперсии; последняя учитывается при получении «внутреннего» решения для граничного слоя, т. е. зоны дисперсии вблизи фронта фильтрации. Этот же прием использовал Б. Хант при получении приближенного аналитического решения гидродинамической дисперсии радиоактивного вещества в радиальном потоке подземных вод.