Двумерная дисперсия

В общем виде миграция растворенного или эмульгированного вещества в изолированном водоносном пласте описывается следующим уравнением:

где С — концентрация мигрирующего вещества в подземных водах, N — концентрация этого вещества в твердой фазе, изменяющаяся по пути фильтрации вследствие сорбции, растворения, распада или других физикохимических реакций, n0 — активная пористость-породы, U — скорость фильтрации, х — координаты декартовой системы, I = 1,2; Di — коэффициент дисперсии по оси i.

Уравнение (5) основано на предпосылках о том, что пористая среда — однородная, водонасыщенная; фильтрующаяся жидкость — несжимаема; поток — макроскопически стационарный и ламинарный. В зависимости от начальных н граничных условий решения уравнения (5) имеют различный вид.

Двумерная дисперсия нейтрального, не взаимодействующего с пластом, вещества в одномерном стационарном потоке характеризуется уравнением

где Dx = Dт, Dу = DL (Dт, DL — поперечный и продольный коэффициенты дисперсии); V — действительная скорость движения воды. Задачи двумерной дисперсии освещены в работах А. Огата, Дж. Бруха и Р. Стрита, Б. Ханта, К. Уанга и Р. Ченга, Г. Шена и др. А. Огата исследовал двумерную дисперсию вещества, выходящего из плоского кругового источника в поток подземных вод. Рассмотрена следующая схема; при Z=0 находится круговой источник радиуса а (рис. 3). Поступающая из него вода имеет концентрацию вещества-метки C0 и вводится со скоростью V в полуограниченную пористую фильтрующую среду в область r меньше a. В области r больше а при z=0 скорость потока также равна V, но вещество-метка отсутствует (С=0). Симметрия относительно оси z позволяет записать дифференциальное уравнение массопереноса в одномерном потоке в цилиндрических координатах:

где V — скорость потока в направлении оси z; Dz и Dr — коэффициенты дисперсии в направлениях z и r соответственно; С — концентрация; t — время; z и r — пространственные координаты. Граничные и начальные условия имеют вид:

Здесь J0 и J1 — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; J (х, у) — функция Гольдштейна, встречающаяся в теории теплопереиоса. Вычисления концентрации С (9) и, тем более, нахождение параметров дисперсии по опытным измерениям С несомненно, очень сложны. Нестационарное распределение концентрации вдоль оси z (т. е. при r = 0) имеет более простой вид:

где 02 = (a2V2)/(4DzDr). Расчеты изменения во времени распределения концентрации С вдоль оси z по формуле (12) при 02 = 2,75 показывают, что стационарное распределение достигается довольно быстро (уже при в больше 5). А. Огата представил решение для стационарного распределения концентрации C(z, г), (t->оо) в зависимости от a, V, Dz, Dr в виде бесконечных рядов. Стационарное распределение концентрации для оси z (r = 0) получено в простом виде:

Наряду с полным уравнением (7) А, Огата использовал также более простое уравнение для рассматриваемой схемы кругового источника:

в котором опущен член D2(d2C/dz2), учитывающий продольную дисперсию. Возможность использования этой приближенной математической модели основана на предпосылке, что зона дисперсии на фронте загрязненного потока, обусловленная преимущественно продольной дисперсией, формируется быстро по сравнению с эффектом поперечной дисперсии вещества и в дальнейшем, передвигаясь со скоростью потока V, изменяется мало.

Для краевых условий

где е = ra/2Drt; n = a/r; Im(e) - модифицированная функция Бесселя первого рода m-го порядка. Подстановкой t=z/V из (16) можно получить выражение для стационарного распределения C, которое для оси z(r = 0) имеет вид

Выражения (17) или (18) можно легко использовать для определения коэффициента поперечной дисперсии D2 из экспериментов. Сопоставление формулы (13) для более полной схемы, учитывающей Dz и Dr, с формулой (17) для упрощенной схемы (Dz = 0), выполненное для стационарных условий и r = 0, показывает, что для большинства значений параметра 0, наблюдавшихся в лабораторных опытах, упрощенная или точная схемы дают близкие результаты.

Дж. Брух и Р. Стрит рассмотрели уравнение двумерной дисперсии в одномерном потоке применительно к задаче распространения вещества, вводимого в часть сечения одномерного потока, имеющего ограниченную ширину. Физическая и математическая модели задачи показаны на рис. 4. Одномерный поток, существующий в области — b<х