Электромонтаж Ремонт и отделка Укладка напольных покрытий, теплые полы Тепловодоснабжение

Устойчивость систем автоматического регулирования

05.12.2019

Систему автоматического регулирования называют устойчивой, если после ликвидации возмущающего воздействия (или сохранения его постоянным по величине) или после изменения на постоянную величину управляющего воздействия по окончании переходного процесса она снова приходит в первоначальное или другое равновесное состояние.

Если при тех же условиях в системе возникают колебания все возрастающей амплитуды или происходит монотонное увеличение отклонения регулируемой величины от ее заданного равновесного значения, то систему называют неустойчивой.

Для того чтобы система могла правильно отрабатывать управляющий входной сигнал, необходимо, чтобы переходной процесс, протекающий при переходе системы из одного заданного состояния в другое, был затухающим, т. е. составляющая хdых(t) в выражении (II.20) с течением времени должна стремиться к нулю. При этик регулируемая величина по окончании переходного процесса примет новое заданное значение.

Необходимо также, чтобы переходная составляющая xвых(t) с течением времени стремилась к нулю и при воздействии на систему кратковременных возмущающих воздействий, так как в этом случае вызванное возмущающими воздействиями отклонение регулируемой величины от заданного значения с течением времени станет равным нулю н равновесное состояние системы восстановится.

Как следует из уравнения (II.23), переходная составляющая определяется суммой членов, каждый из которых содержит экспоненциальную составляющую е'xt (а представляет собой корень характеристического уравнения, сели он вещественный, или вещественную часть этого корня в случае, если он комплексный).

Таким образом, для того чтобы каждый член выражения xвых(t) с течением времени стремился к нулю, т. с. линейная система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно. чтобы все вещественные корни и вещественные части комплексных корней характеристического уравнения были отрицательны.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения или вещественная часть одного из его комплексных корней будут положительны. система будет неустойчивой. В таких случаях член переходной составляющей, соответствующий этому корню, будет содержать экспоненту и положительной степени, величина которой с течением времени беспредельно возрастает; следовательно, теоретически стремится к бесконечности и значение регулируемой величины.

Таким образом, математические условия устойчивости основаны на определении корней характеристического уравнения системы. Однако во многих случаях этим методом пользоваться практически невозможно, так как искать корни алгебраических уравнений высоких степеней очень трудно. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения, можно определить устойчива или неустойчива система, но нельзя установить как нужно изменить параметры системы для обеспечения или повышения ее устойчивости.

В связи с этим о современной теории регулирования и инженерной практике широко применяют косвенные методы исследования CAP на устойчивость. Предложены три основных критерия устойчивости: алгебраический критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и амплитудно-фазовый критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Рауса—Гурвица основан на анализе коэффициентов характеристического уравнении системы. Сущность его состоит в следующем. Коэффициенты характеристического уравнения (II.22) должны быть положительными (a>0). Кроме того, должны быть соблюдены дополнительные условия, сформулированные в виде неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения. Например, для уравнения третьего порядка:
Устойчивость систем автоматического регулирования

для уравнения четвертого порядка:

Критерий устойчивости Михайлова также oснован на использовании характеристического уравнения системы. Этот критерий позволяет сулить об устойчивости CAP по годографу вектора характеристической функции М(jw), получаемой из характеристического уравнения замкнутой системы (II.23), путем замены комплексной переменной р на мнимую переменную jw:

Если непрерывно изменять величину w от пуля до +00, то конец вектора M (jw) опишет кривую, называемую годографом характеристической функции системы или годографом Михайлова.

Критерий Михайлова формулируют следующим образом: линейная система n-ного порядка устойчива, если при изменении w от нуля до 00 годограф Михайлова последовательно обходит n квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной естественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.

Если годограф Михайлова обходит меньше, чем n, квадрантов или при обходе нарушается последовательность перехода его из квадранта в квадрант, а также если годограф пройдет через начало координат, система неустойчива.

Критерий устойчивости Найквиста основан на построении амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы при изменении частоты w от нуля до 00. Его формулируют следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: